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今回は２点（x1, y1）（x2, y2）を通る２次曲線y=ax2+bx+cを求めてみます。ただし、２点の座標のみだと曲線を１つに特定できませんので、同時にaの値も指定するようにしましょう。つまり、「指定されたaの値と曲線が通る２点の座標から、２次曲線の式を求める」わけですね。 ２次曲線の式 まず、未知のパラメータb, cを求めて２次曲線の式を確定させるために、２次曲線の式y=ax2+bx+cをa, b, cそれぞれについて解いてみましょう。すると a=(y-bx-c)/x2 - (1) b=(y-ax2-c)/x - (2) c=y-ax2-bx - (3) という関係が導かれます。この関係は（x1, y1）（x2, y2）でも成り立っているので、（x1, y1）（x2, y2）とaの値を入れて未知のb, cを求める事にします。式を見ると、(3)に入れるのが楽そうですね。(3)の（x, y）に（x1, y1）（x2, y2）を代入すると、 c=y1-ax12-bx1=y2-ax22-bx2 -(4) となって、この式から y1-ax12-bx1=y2-ax22-bx2 -(5) という関係が導かれました。(5)式の変数のうち、（x1, y1）（x2, y2）とaは既に与えられているので、未知の変数はbのみ。(5)式をbについて解けばbの値が求まる事になります。 bx1-bx2=-ax12+ax22+y1-y2 b=(-ax12+ax22+y1-y2)/(x1-x2) -(6) 後は、求めたbを(3)式に入れてcを求めるだけですね。 ２次曲線の表示未知であったb, cを求め２次曲線の式を確定する方法がわかったので、実際に２点とaを指定して２次曲線を描くJavaアプレットを作ってみましょう。今回は、２次曲線を描くグラフとして１００×１００のImageを用意し、その各座標を（-50,-50）-（49,49）に対応させて使う事にしました。Imageは、４倍に拡大して表示します。 ２点の入力には、マウスを使います。２点の座標を入れるPoint型配列pt[2]を用意して、グラフ上でマウスがクリックされたらその座標を入れていきましょう。現在指定されている点の数は変数npに保持し、２点以上は入力できない、また同じx座標の点も入力できないようにします。
public void mouseClicked(MouseEvent e) { // マウスクリック
int x=(int)((e.getX()-4)/4);
int y=(int)((e.getY()-4)/4);
if (x<0 || x>99 || y<0 || y>99 || np>1)
return;
if (np==1 && pt[0].x==x-50)
return;
y=99-y;
pt[np].x=x-50;
pt[np].y=y-50;
// TextFieldに点の座標を表示
fp[np].setText(String.valueOf(pt[np].x)+","+String.valueOf(pt[np].y));
np++;
repaint();
}
２点とaの値を指定したら、Drawボタンで２次曲線を描画します。描画は、描画関数paint内で行うようにしました。paintの中でまずb, cを求め、続いてグラフ上の各x座標に対するyを求めて行きます。
private double func(double x) { // ２次曲線の関数
return a*x*x+b*x+c;
}
public void paint(Graphics g) {
int x,y,xx,yy;
double x1=pt[0].x,x2=pt[1].x,y1=pt[0].y,y2=pt[1].y;
g_img.setColor(Color.white);
g_img.fillRect(0,0,100,100);
if (draw) {
g_img.setColor(Color.red);
// 入力されたaの値を取得
a=Double.valueOf(fa.getText()).doubleValue();
b=(y1-y2-a*x1*x1+a*x2*x2)/(x1-x2);
c=y1-a*x1*x1-b*x1;
if (c<0) // TextFiledに２次曲線の式を表示
fy.setText(String.valueOf(a)+"x2+"+String.valueOf(b)
+"x"+String.valueOf(c));
else
fy.setText(String.valueOf(a)+"x2+"+String.valueOf(b)
+"x"+"+"+String.valueOf(c));
// ２次曲線を描画
xx=0;
yy=99-((int)func(-50)+50);
for (x=0;x<100;x++) {
y=99-((int)func(x-50)+50);
g_img.fillRect(x,y,1,1);
g_img.drawLine(xx,yy,x,y);
xx=x;
yy=y;
}
}
g_img.setColor(Color.blue);
for (int i=0;i<2;i++) // 指定された点を表示
if (pt[i].x!=999)
g_img.fillRect(pt[i].x+50,99-(pt[i].y+50),1,1);
g.drawImage(img,4,4,400,400,this);
g.setColor(Color.gray);
g.drawLine(4,204,404,204);
g.drawLine(204,4,204,404);
g.setColor(Color.black);
g.drawRect(4,4,400,400);
}
プログラムグラフ内の２点をマウスで指定し、aの値を入力したらdraw!ボタンをクリックしてください。２点を繋ぐ２次曲線とその式が表示されます。やり直す時は、Clear!ボタンでクリアできます。 実行すると、数学の授業でもおなじみの「放物線」が描かれますね。 |